Самообразование

Итак, актуальный рецепт для нахождения центра окружности. Для этого нам понадобятся линейка, карандаш и, как ни странно, циркуль.

Так вот, выбираем на окружности три точки — А, В и С.

Соединяем их отрезками.

Находим середину каждого отрезка. Как мы это делаем? По «древнешумерскому рецепту»: берём и рисуем окружности с центрами в концах отрезка. На рисунках окружности показаны цветами, соответствующими отрезкам.

Главное условие: радиус окружности должен быть больше половины отрезка. Как мы поймём, что выбрали правильный радиус? Если выбрали неправильно, то окружности не пересекутся. Линия пересечения окружностей является серединным перпендикуляром. И самое интересное, что серединные перпендикуляры отрезков АВ, ВС и АС пересекутся в центре окружности.

Дмитрий Просвирин

Поверхность

Любое твёрдое тело и любая жидкость имеют поверхность, но не у всех она плоская. А вот примеры плоской поверхности: поверхность школьной доски (Рис.1), поверхность бумажного листа, когда он лежит на поверхности стола.

                                                     Рис.1
И обрати внимание: если прямая состоит из точек, выстроенных в ряд, то плоская поверхность состоит из прямых, выстроенных в ряд. А если прямая не имеет ни начала, ни конца? Правильно, то и плоская поверхность в геометрии считается бесконечно простирающейся по длине и ширине.
В геометрии учёные договорились, что есть плоские поверхности, или плоскости, а есть кривые поверхности, но к ним мы вернёмся чуть позже.

Нарисуем две прямые линии.

                                                       Рис. 2

Посмотри! Точка разделила прямую пополам (Рис. 2). Получилось две полупрямые. Их ещё называют «лучами». У луча есть начало и нет конца. 

Луч невозможно изобразить полностью, поэтому на рисунке изображают только часть луча (Рис. 3).

                                                       Рис. 3

А так как унас пересеклись две прямые линии мы получили четыре полупрямые, или четыре луча (Рис. 2).

2+2=4

Когда два луча имеют общее начало. то образуется новая фигура. Её называют углом.

На рисунке 2 мы изобразили пересечение двух прямых a и b и получили целых четыре угла.

Еще древние шумеры придумали меру для углов. Они разделили круг на 360 частей. 

Самый большой угол называют оборотом или полным углом, а самый маленький - нулевым.

                                                Рис.4

На рисунке 4 показаны все разновидности углов:
1) Нулевой угол — 0°(стороны нулевого угла совпадают).
2) Полный угол — 360°.
3) Развёрнутый угол — 180° (сторонами развёрнутого угла являются две полупрямые одной прямой, то есть два луча, направленных в противоположные стороны).
4) Прямой угол — 90° (половина развёрнутого угла).
5) Тупой угол — больше 90°, но меньше 180°.
6) Острый угол — больше 0°, но меньше 90°.
7) Выпуклый угол — больше 180°, но меньше 360°.

Для удобства придумали инструмент для измерения углов, который назвали транспортиром (Рис. 5).

                                              Рис. 5

Запомни названия углов.

Нажми на логотип Академии МОГУС и посмотри видео к урокам 1 и 2

Дмитрий Просвирин

Представь, что ты попал в далёкое-далёкое прошлое, где ещё нет ни телефонов, ни планшетов, ни даже обычных тетрадок. Только пещеры, мохнатые мамонты и очень любопытные люди — пещерные! И знаешь, что им тоже приходилось считать? Да-да! Например, сколько мамонтов пробежало мимо, сколько яблок (ну, или каких-то древних ягод) собрали, сколько друзей пришло на ужин. А как считать, если цифр ещё не придумали?

Чёрточки и ладошка: первый счёт пещерного человека

Пещерные люди были очень изобретательными. Они не знали про 1, 2, 3, но быстро придумали свой способ. Хочешь секрет? Они просто рисовали чёрточки прямо на земле или на стене пещеры — пальцем выводили: одна чёрточка — один мамонт, две чёрточки — два мамонта. И так до четырёх.

А вот с пятёркой вышла настоящая хитрость! Рисовать пять чёрточек долго, да и запутаться можно: раз, два, три… ой, а это уже шестая? Тут пещерные люди почесали затылки и сказали: «А давай-ка по-другому!» И стали ставить отпечаток ладони. Ладошка — это сразу пять пальцев, значит, и число пять! Вот это лайфхак из каменного века! Говорят, тогда даже поговорка ходила: «Ладонь приложи — и считай, не дрожи!»

Шумеры и их «острые» цифры

Потом пришли шумеры — умные ребята из Древней Месопотамии. Им чёрточки показались слишком простыми, и они придумали клинопись. Это когда на мягкой глиняной табличке острой палочкой выдавливают значки в виде клинышков. Представь: сидишь ты на полу, перед тобой кусочек глины, а ты палочкой тычешь: тут клин, там клин — и получается число! Шумеры бы точно сказали: «Клин за клином — и счёт идёт ровным!»

Египтяне: снова чёрточки, но с изюминкой

Древние египтяне тоже любили чёрточки. Но они не просто рисовали их как попало, а делали всё красиво и по-египетски торжественно. Одна чёрточка — это единица, две — двойка… и так далее. Наверное, у египетских детишек была своя считалочка: «Чёрточку ставь, не зевай — число скорей собирай!»

Инки: кружочки, черточки и узелки

А теперь перенесёмся в далёкие горы, где жили инки. Эти ребята вообще подошли к делу с фантазией: использовали кружочки, чёрточки и даже узелки на верёвочках! Узелки завязывали так: один узелок — одно число, другой — другое. Получался настоящий «узловой калькулятор». Если бы инки жили сейчас, они бы точно придумали приложение «УзелОК: считай стильно!»

Римляне: буквы вместо цифр

И наконец, древние римляне решили: а зачем нам чёрточки и кружочки, если у нас есть буквы? И стали обозначать числа буквами: I — это один, V — пять, X — десять. Так появились римские цифры, которые до сих пор встречаются на циферблатах часов и в названиях частей фильмов. Римские школьники, наверное, повторяли про себя: «Букву знай — число собирай!»

Почему это круто?

Знаешь, что самое интересное? Все эти способы — чёрточки, ладошки, клинышки, узелки, буквы — это как разные языки одного и того же разговора: разговора о числах. И каждый народ придумывал что-то своё, потому что всем хотелось понимать, сколько у них друзей, яблок или приключений впереди.

Так что, когда ты сейчас пишешь 1, 2, 3, помни: за каждой цифрой стоит целая история, полная смекалки и весёлых находок. А если вдруг станет скучно считать, вспомни пещерного учителя арифметики: он бы тебе подмигнул и сказал: «Одна чёрточка, вторая, третья… Эй, не теряй счёт, а то мамонт убежит!»

нажми на значок Академии и тебя ждет увлекательное видео!

Теперь ты знаешь: цифры не просто так появились — их придумывали, пробовали, ошибались и снова пробовали. И ты тоже можешь придумывать свои способы считать: хоть ладошками, хоть камушками, хоть весёлыми стишками. Ведь математика — это не только про правила, но и про фантазию!

Дмитрий Просвирин

Давным-давно, ещё до нашей эры, жил в Древней Греции учёный, и звали его Евклид (Рис.1).

                      рис. 1

Он очень любил математику и геометрию и решил подарить свои знания потомкам. И написал он научный трактат «Начала» — это книжка такая про математику. Многие века учились по этой книжке люди, и в благодарность назвали Евклида «отцом геометрии».
Посмотрим на первое определение его книги:

«1. Точка есть то, что не имеет частей».

Платон объяснил это фразой:

«Точку нельзя разделить потому, что она есть «воплощённое в пространстве» единое, а единое неделимо по определению».

Из сингулярности — точки с бесконечно высокой плотностью и температурой, — возникла наша Вселенная, и, как материя состоит из фундаментальных частиц, так и все геометрические фигуры и пространства состоят из точек.
Давайте поставим точку и начнём изучать геометрию. Не точку, которой заканчивается предложение, книгу, которой завершают что-либо, а точку — начало всех начал.
Вот доска, вот точка, а точки обозначаются заглавными латинскими буквами.
Пусть эта точка будет буквой О (Рис.2).

                                                    рис.2

На экзамене по геометрии профессор
спрашивает студента:
— Вы можете дать определение точки?
— Конечно, — отвечает студент, — Точка — это
прямая линия, если смотреть ей прямо в торец.

Проверим прав ли студент:
Заглядываем в «Начала» и читаем:
«2. Линия же – длина без ширины.
3. Концы же линии – точки.»

                                                     рис.3

Перед тем как продолжить, запомним ещё одно определение:
Множество — это просто собрание каких‑то объектов, которые имеют общие признаки, например: точки, яблоки, болты, гайки и т. д. Эти объекты называют элементами множества.
Линия — это множество точек, расположенных на одной линии (в ряд). В случае если линия имеет концы, то это множество точек, расположенных на одной линии между концами.
Нарисуем вторую точку, обозначим её А и соединим их линией (рис. 3). Мы видим линию, про которую пишет Евклид, — она имеет концы.

                                                  рис.4

«4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.»
Это мудрый Евклид нам подсказывает, что прямая линия может быть и не ограничена двумя точками. Но тогда мы получаем нечто без начала и конца!

Бывает линия, не ограниченная концами; такую линию Евклид называет «прямой линией».
Прямая линия — это множество точек, расположенных на одной линии (в ряд). Эта линия не ограничена концами, она бесконечная. В геометрии такую линию назвали прямой — она не имеет ни начала, ни конца.
На чертеже изображают лишь часть прямой, но мысленно представляют её продолжение в обе стороны. Если дана прямая, но на ней не обозначена точка, то прямую обозначают одной строчной латинской буквой (например, a). Две точки можно не только соединить линией, но и провести через них прямую; тогда её можно обозначить двумя заглавными буквами, соответствующими точкам (рис. 4), лежащим на прямой (например, ОА).
Точки О и А как бы отрезали из множества точек на прямой часть точек и получили линию с концами О и А — отрезок.
В этом случае отрезок (линия) получает ещё одно определение:
Отрезок прямой — это часть точек прямой, которая ограничена двумя крайними точками. Это множество включает в себя две различные точки данной прямой, именуемые концами отрезка, а также все точки, расположенные между ними, которые принято называть внутренними точками отрезка. Если концы отрезка обозначены точками О и А, то мы видим отрезок ОА (Рис. 4).

                                                рис.5

Евклид говорил, что отрезок (линия) — это длина без ширины.
А что такое длина?
Длина — физическая величина, числовая характеристика протяжённости линий.
Под длиной понимают расстояние между двумя наиболее удалёнными точками. Смотря в чём мерить! Можно смело заявлять, что в отрезке бесконечное множество точек. Как так? Кто не верит, пусть посчитает или посмотрит определение точки.
Длину измеряют с помощью инструментов, например линейки, и обозначается она не количеством точек, а в единицах измерения: миллиметры, сантиметры, метры, километры и т. д.

Дмитрий Просвирин

Джон Валлис и его бесконечный трюк: когда математика решила пошалить

Знакомьтесь — Джон Валлис: математик, священник и главный нарушитель спокойствия XVII века. Этот парень взял и придумал символ бесконечности «∞» — да так лихо, будто не математику двигал вперёд, а жонглировал горящими факелами на ярмарке. А потом ещё и инфинитезимали обозначил как 1/∞​.

— Ну да, — пожимал плечами Валлис, — беру единицу, делю на бесконечность. Что тут такого? Это же не ракету в космос запускать!

Римская католическая церковь, увидев это, чуть не устроила экстренное заседание: «Что за ересь?!» Католики тогда крепко держались за Аристотеля, который строго‑настрого запретил актуальную бесконечность: «Её не существует! И точка!» Но Валлис лишь ухмыльнулся:

— Ребята, я англичанин. Ваши папские указы для меня — как инструкция к микроволновке на китайском.

Так математика впервые показала язык философии — и это было только начало!

Ньютон и Лейбниц: два гения, одна гениальная мысль (и пара безумных идей)

Ньютон и Лейбниц, два великих математика XVIII века, независимо друг от друга задумались: «А что, если эти бесконечно малые штуки — не бред сумасшедшего, а реальная польза? Может, мы просто недооцениваем их?»

Представьте: вам нужно определить касательную к кривой. Для окружности всё просто: «касательная пересекает окружность в одной точке» — и готово. Но если кривая похожа на след пьяного ежа после новогодней вечеринки, этот лайфхак не работает.

И тут математики придумали гениальный ход:

— А давайте скажем, что касательная пересекает кривую в двух бесконечно близких точках! — предложил кто‑то.

— О, а секущая идёт «поперёк» и проходит только через одну, — подхватил второй. — Гениально!

А чтобы найти объём криволинейной фигуры, можно не резать её на плоскости, как Кавальери, а на слои — бесконечно тонкие, но не нулевые. Так, слово за слово, и появились дифференциальное и интегральное исчисление. Как будто магия, только с формулами!

Бесконечность без правил: бунтари математического мира

Правда, строгих правил для этих бесконечно малых величин не было. Они как подростки: нарушают все законы, включая аксиому Архимеда, которая строго заявляет:

«Даже самый маленький отрезок, взятый достаточное число раз, станет больше любого большого отрезка».

Инфинитезимали же — те ещё бунтари: сколько их ни складывай, они не дадут даже гуголплекс1​.

Методы работали как магия — иногда давали верный результат, иногда — полный абсурд. Философы потешались: епископ Беркли назвал инфинитезимали «призраками почивших чисел». А некоторые считают, что лилипуты в «Путешествиях Гулливера» — это тонкий стёб над этими самыми бесконечно малыми. Мол, такие крошечные, что почти не существуют, но всё равно мешают жить!

Архимед наносит ответный удар: математика против критики

Но несмотря на критику, математический анализ оказался настолько полезным, что от него никто не хотел отказываться. Решались задачи по геометрии, физике, астрономии — без него всё это было бы как попытка забить гвоздь микроскопом или нарисовать портрет акварелью с помощью отбойного молотка.

Математики рассуждали так:

— Да, метод иногда глючит, как старый компьютер. Но он же работает! Зачем отказываться?

Это как с Excel: даже если он зависает, никто не вернётся к деревянным счётам. Разве что ради ностальгии.

Коши и его строгий подход: когда математика решила навести порядок

Строгую формализацию начал Коши — и начал он с того, что выкинул инфинитезимали на мороз, как прошлогодний снег. Вместо них появились громоздкие формулировки с потенциальной бесконечностью.

Вот вам анекдот про математиков, который всё объясняет:

В бар заходит бесконечное число математиков. Первый заказывает кружку пива, второй половину кружки, третий четверть кружки, четвертый одну восьмую… «Я понял», — говорит бармен, и ставит на стойку две кружки пива.

С точки зрения Ньютона и Лейбница, бесконечно большое число математиков заказало количество пива, бесконечно близкое к двум кружкам.

А Коши бы сказал иначе:

«Для любого ε>0 существует такое натуральное число N, что после первых N математиков общий объём заказа отличается от двух кружек не более чем на ε».

Звучит как заклинание из «Гарри Поттера»? Да, но зато без всякой мистики — никаких бесконечностей и призрачных чисел. И работает даже лучше!

Физики против формализма: «нам бы что попроще»

Многие физики до сих пор презирают этот формализм и пользуются методами Ньютона: «достаточно малые», «достаточно большие» — и ладно. В чём‑то они правы: если физика не умеет работать с расстояниями меньше планковской величины, то эти расстояния мало чем отличаются от инфинитезималей.

— Нам бы что попроще, — говорят физики. — Зачем нам эти ваши ε-δ определения? Мы тут звёзды считаем, а не философствуем!

Можно ли делить на ноль? Или вечный вопрос школьников

Этот вопрос волнует школьников всех возрастов, как тайна НЛО или рецепт идеального бутерброда.

— В матанализе говорят: «единица, делённая на бесконечность, даёт ноль», — рассуждает юный гений. — Значит, единица, делённая на ноль, даст бесконечность! Шах и мат, училка!

На самом деле всё сложнее. Бесконечность в матанализе — не число, а обозначение предела. Фраза ∞1​=0 означает:

«Если у нас есть бесконечно возрастающая последовательность, и мы вместо каждого элемента x возьмём x1​, то новая последовательность будет стремиться к нулю».

Так что, дорогие школьники, делить на ноль по‑прежнему нельзя. Иначе можно доказать, что 2=5:

2 × 0 = 5 × 0. Если на ноль делить можно, то разделим на него обе части равенства. Вуаля, 2 = 5.

Арифметика в шоке, математика в слезах, учитель в обмороке.

Есть, правда, хитрые алгебраические структуры — «колеса», где деление на ноль разрешено. Но там свои законы: например, (1+1)×1=2. Так что наш родной ноль — под запретом.

На этом третья часть истории бесконечности заканчивается!

Но и это ещё не всё!

Дмитрий Просвирин

Представьте: сидит математик, хмурится и думает: «Ну сколько можно возиться с этой потенциальной бесконечностью? Она как тот кот — вроде есть, а потрогать нельзя!» И тут — бац! — озарение: а давайте заменим её на актуальную! Так появился «метод неделимых», он же «метод Кавальери» — в честь того самого итальянца, который сказал: «Хватит усложнять!»

Как это работает? Да проще простого! Вместо того чтобы корпеть над слоёным пирогом с бесконечно тонкими коржами (которые, кстати, даже блинный мастер не испечёт), просто представьте, что у вас уже лежит бесконечное число таких слоёв. Магия? Нет, математика!

Правда, Кавальери быстро понял: метод — как острый нож. Им можно и хлеб нарезать, и палец поранить. Если применить его бездумно, получится абсурд. Классический пример — «парадокс Кавальери»: два треугольника, разные по площади, вдруг оказываются одинаковыми, если их «расслоить» на отрезки. Вот такой математический фокус — не для слабонервных!

И тут, конечно, встаёт вопрос: а что же такое эта самая «актуальная бесконечность»? Звучит солидно, да? Прямо как титул какого‑нибудь древнего короля: «Его Величество Актуальная Бесконечность, Повелитель Всего и Сразу». Но штука эта оказалась такой коварной, что даже Архимед на неё косился с подозрением.

Он, кстати, был не промах: сначала, словно хитрый повар, «на глазок» прикидывал результат с чем‑то вроде метода неделимых — ну, типа «а давайте представим, что тут у нас миллион тоненьких слоёв». А потом, чтобы уж наверняка, доказывал всё строгим методом исчерпывания — так, чтобы ни один скептик не придрался. Архимед как будто говорил: «Да, я верю в интуицию, но проверять всё равно буду!»

С этой же штукой столкнулся и Галилей — и чуть не схватился за голову. Он заметил одну странную штуку:

— Так, — сказал он, — берём все натуральные числа. Каждое можно возвести в квадрат. Значит, квадратов столько же, сколько и самих чисел. Логично? Логично!

Но тут же добавил:

— А теперь внимание: не каждое натуральное число — это квадрат. То есть квадратов должно быть меньше!

И застыл в недоумении. Получается, от бесконечности можно отрезать кусок — и он будет равен целому! Галилей почесал затылок, вздохнул и решил: «Всё, хватит. Понятия „больше“ и „равно“ — только для нормальных, конечных штук. С бесконечностью эти правила не работают — она их просто игнорирует, как подросток родителей».

Математики смотрели на всё это и думали:

— С одной стороны, эта актуальная бесконечность — как скользкий банан на полу: наступишь — и сразу парадокс, потом ещё один, потом третий… Ошибки, нестыковки, странные выводы — прямо цирк с конями!

— С другой стороны… ну а как без неё? Метод неделимых же такой удобный! Он как кухонный комбайн: закинул задачу — и через минуту готово. Да, иногда он выдаёт что‑то странное — например, «два разных треугольника вдруг одинаковые», — но в большинстве случаев работает на ура!

В общем, критики ворчали, математики спорили, кто‑то грозился всё запретить, а кто‑то уже вовсю пользовался. И постепенно, шаг за шагом, математика всё‑таки ступила на этот скользкий путь — с бесконечностью в рюкзаке, парадоксами в кармане и надеждой, что как‑нибудь разберётся. Потому что, знаете, когда метод работает — даже если он немного сумасшедший, — от него так просто не откажешься. Как от любимого, но слегка поломанного гаджета: да, глючит, да, иногда зависает, но зато как удобно!

Реслинг. Бой: Ньютон, Лейбниц против Архимеда – американский долг и бесконечность наоборот.

— Какое число самое маленькое? — спросим мы у догадливого читателя.

— Минус бесконечность! — радостно выкрикнет он, довольный своей сообразительностью.

— Э‑э‑э, стоп, — прервём мы его. — А если без учёта знака? По абсолютной величине?

— Тогда ноль, — не моргнув глазом ответит читатель.

— А если кроме нуля? — прищуримся мы.

И тут наш читатель зависнет, как старый компьютер. Почешет затылок, посмотрит в потолок и задумается всерьёз.

Видите ли, в эту игру — «назови самое маленькое число» — выиграть невозможно. Совсем. Как и в игру «назови самое большое». Это как соревнование в щедрости: «Я подарю тебе миллион!» — «А я — миллиард!» — «А я — триллион!» И так до бесконечности.

Допустим, кто‑то хитроумно выдаёт: «Единица, делённая на гуголплекс!» (Да, есть такое число — гуголплекс. Оно такое огромное, что если бы вы начали его записывать, то к концу жизни добрались бы только до середины.)

А ему в ответ: «А я возьму и разделю ещё пополам!»

«Ну ладно, — не сдаётся первый. — Тогда единица, делённая на гуголплекс в квадрате!»

«А я разделю это пополам!»

И так до скончания веков. Бесконечное состязание в миниатюре — кто придумает число поменьше.

Но что, если… барабанная дробь… самое маленькое число, большее нуля, всё‑таки существует?

Чтобы окончательно всех запутать (и показать, какие мы умные), назовём его трудновыговариваемым словом «инфинитезималь» — от латинского infinitesimus, что значит «бесконечный по счёту, номер бесконечность». Звучит как заклинание из «Гарри Поттера», правда?

Грубо говоря, если играть в «самое маленькое число» бесконечно долго, то бесконечным по счёту ответом и будет этот самый инфинитезималь. Он такой крошечный, что его почти нет — но он есть. Как тот друг, который всегда говорит: «Я на секундочку!» — а потом сидит у вас три часа.

Ньютон и Лейбниц, кстати, именно с такими штуками и возились, когда придумывали свои математические фокусы (которые потом назвали математическим анализом). Они как бы сказали: «Да, обычные числа — это скучно. Давайте-ка работать с чем‑то настолько маленьким, что оно почти невидимо, но при этом помогает решать реальные задачи!»

Вот так математика взяла и придумала способ дружить с бесконечностями — и большими, и маленькими. И пусть это иногда выглядит как магия, на самом деле это просто… очень умная математика!

Думаете это конец? Ошибаетесь! Мыльная опера продолжается!

Дмитрий Просвирин

В стародавние времена, когда ещё не было телефонов и компьютеров, люди тратили своё время на создание наук и научные беседы.

В первом тысячелетии до нашей эры сидел под сенью деревьев Аристотель и за неимением смартфона думал. Думал он, думал и придумал, как озадачить потомков во веки веков: он родил на свет понятие бесконечности. Точнее, не родил — намёки на бесконечность начинают всплывать и у шумеров, и у древних египтян, и у пифагорейцев, и в древнеиндийских Упанишадах.

Судя по всему, исторически первым шагом к понятию бесконечности стал вопрос: «Сколько тебе богатств надо, чтобы ты успокоился?» Когда‑то пределом мечтаний считалось у шумеров 3600, и пресловутое «сорок сороков» (для тех, кто не в курсе, это 1600, но звучит эпично). Тем, кому и этого было мало, на помощь приходили мириады (в Древней Греции это были вполне конкретные 10 000, а не просто красивое слово). Сюда же в копилку «ну очень много» шли:

• «тьма» (10 000 или миллион — в зависимости от настроения и способа счёта);

• легион (100 000 или триллион).

Не отстали и современники: гугол и гуголплекс.

История последних двух чисел прекрасна: их придумал математик Эдвард Каснер просто так, болтая со своими малолетними племянниками. Это классическая детская игра «Кто назовёт самое большое число», в которую невозможно выиграть. Игра древняя, и первым невозможность выигрыша доказал Евклид.

Евклид гениально доказал, что простых чисел бесконечно много. Доказательство изящное и звонкое, как пощёчина: если бы их количество было конечным, мы могли бы перемножить их все, прибавить единицу — и получить число, которое не делится ни на одно из известных простых. «Начала», книга IX, предложение 20. При этом Евклид не использует понятие бесконечности. И понеслось!

Древние греки почувствовали подвох, сразу же бесконечность невзлюбили и отождествили её с первобытным Хаосом. Логика у них была железная: если что‑то нельзя пересчитать, какой вообще может быть порядок?

Индусы же рассуждали иначе, с буддийским спокойствием: если от бесконечного отнять конечную часть, бесконечное не уменьшится. Более того, они построили целую иерархию бесконечностей: от «почти несчётных» до «бесконечно бесконечных».

Так родилось занятие для слишком умных людей, у которых не было смартфонов и социальных сетей. Стартовали многовековые бои без правил пытливых умов!

Первым в клетку вышел Аристотель и провёл «двоечку». Серия состояла из введения двух типов бесконечности: потенциальной и актуальной.

• Потенциальная бесконечность — это когда перед вами гора золота, и вы можете забрать столько, сколько захотите. Хотите сотню монет? Возьмёте сотню. Хотите гуголплекс? Возьмите гуголплекс (при условии, что у вас есть гуголплекс рук и бесконечное терпение). Американский государственный долг! Для любого очередного ограничения конгресса найдётся следующий президент, который придумает новое число.

• Актуальная бесконечность — это когда вы подходите к горе золота и видите, что там уже сейчас лежит в стопочках бесконечное число золотых монет. Сразу. Без всяких «если» и «когда». Ваши желания эту гору не волнуют, она просто существует и нарушает все законы физики.

Древние греки не доверяли бесконечности в принципе. Теорему Евклида о простых числах они понимали строго в потенциальном ключе: мол, ежели златокудрым ахейцам понадобятся мириады простых чисел, мы их вычислим. А ежели мириад мириадов? Тоже вычислим, дайте только время и побольше папируса. О том, что простых чисел уже существует бесконечно много, среди сынов Эллады речи не велось.

Даже геометрические прямые, которые в школьном учебнике описываются как бесконечные, у Евклида были лишь «бесконечно продолжаемыми». Дескать, если надо — бери линейку и черти от забора и до заката, а если что, завтра продолжишь: земля‑то круглая.

Наступление Хаоса

Актуальная бесконечность пробралась в математику через чёрный ход геометрии. Дверцу приоткрыл всё тот же Архимед.

Его формула объёма шара: он вписывал в половину шара «слоёный пирог» из множества почти плоских цилиндров. Такой же «пирог» он вписывал в большой цилиндр, из которого по центру был вырезан конус. Указав, что объёмы этих «пирогов» всегда совпадают (какими бы тонкими ни были коржи), Архимед сделал вывод, что и объёмы самих тел равны.

Евдокс, чтобы найти площадь круга, вписывал в него правильные многоугольники, а затем бесконечно увеличивал у них число сторон.

Ребус для не слабонервных. Эта техника называется «метод исчерпывания».

Сидели эти товарищи и с философским спокойствием решали задачи, для которых мы сегодня используем калькуляторы и «новомодное» интегральное исчисление. До XVI века математики прожигали свою жизнь, вычисляя площади и объёмы. Но нашлись нетерпеливые: Кеплер и особенно Кавальери подняли бунт, вышли с лозунгами «Хватит это терпеть!» — и открыли ларец Пандоры.

Продолжение следует.

Дмитрий Просвирин

Для начала вспомним: натуральные числа — это числа, которые мы используем при счёте предметов: 1, 2, 3, 4, 5 и так до бесконечности. (Число 0 к натуральным не относится, но в арифметике оно играет очень важную роль, и мы обязательно о нём поговорим).

Часть 1. Волшебные правила СЛОЖЕНИЯ

Сложение — это арифметическое действие, в результате которого несколько чисел объединяются в одно новое число. Числа, которые мы складываем, называются слагаемыми, а результат — суммой.

Например:

1 + 1 = 2 (Здесь 1 и 1 — слагаемые, 2 — сумма).

2 + 1 = 3

3 + 1 = 4

4 + 1 = 5

0 + 1 = 1

Вот вам и первые правила арифметики:

Если к любому натуральному числу прибавить число 1, получим следующее натуральное число. (Число 1 образуется путём прибавления единицы к нулю: 0 + 1 = 1).

Свойство нуля: при прибавлении нуля число не меняется.

Формула: a+0=a

Пример: 56+0=56

У сложения есть два главных свойства-помощника:

1. Переместительное свойство (Правило «Менялки»)

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

Формула: a+b=b+a

Пример: 7+3=10, и 3+7=10.

Зачем это нужно? Чтобы складывать было удобнее. Если к большому числу нужно прибавить маленькое, лучше поставить большое число первым:

2+48 легче посчитать как 48+2=50.

2. Сочетательное свойство (Правило «Группировки»)

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

Формула: (a+b)+c=a+(b+c)

Пример: (15+7)+3=15+(7+3). Гораздо проще сначала сложить 7 и 3 (получится 10), а потом прибавить к 15.

Итог: 15+10=25.

Зачем это нужно? Вспоминаем первый урок! Чтобы искать «круглые» числа (10, 20, 100) и считать в уме мгновенно.

Часть 2. Точные правила ВЫЧИТАНИЯ

Вычитание — это действие, при котором мы убираем часть от целого или узнаём, на сколько одно число больше другого.

Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым (оно уменьшается). Число, которое вычитают, — вычитаемым. Результат — разность.

Например: 10 – 4 = 6. (10 — уменьшаемое, 4 — вычитаемое, 6 — разность).

5 – 1 = 4

4 – 1 = 3

3 – 1 = 2

2 – 1 = 1

Как видите, если из числа вычесть число 1, то получим предыдущее число.

У вычитания тоже есть свои хитрости:

1. Вычитание суммы из числа

Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности вычесть второе слагаемое.

Формула: a−(b+c)=(a−b)−c

Пример: 45−(15+7). Удобнее сделать так: (45−15)−7=30−7=23.

2. Вычитание числа из суммы

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого (где это возможно), а к полученной разности прибавить другое слагаемое.

Формула: (a+b)−c=(a−c)+b

Пример: (34+8)−4.

Проще вычесть 4 из 34: (34−4)+8=30+8=38.

3. Свойства нуля при вычитании

Если из числа вычесть нуль, число не изменится:

a−0=a

Пример:

99−0=99.

Если из числа вычесть это же число, получится нуль:

a−a=0

Пример:

15−15=0.

Часть 3. Сложение и вычитание — лучшие друзья

Эти действия являются взаимно обратными. Это значит, что одно действие может проверить другое. Это наш главный способ самопроверки!

Можно использовать такое определение: вычитание натуральных чисел — это арифметическая операция, которая позволяет найти неизвестное слагаемое, если известны сумма и другое слагаемое.

Как проверить сложение?

Из суммы нужно вычесть одно из слагаемых. Если получится другое слагаемое, всё верно!

Формула: Если a+b=c, то c−a=b и c−b=a.

Пример: Если 20+30=50, то 50−20=30.

Как проверить вычитание?

К разности можно прибавить вычитаемое. Должно получиться уменьшаемое.

Формула: Если

a−b=c, то b+c=a.

Пример: Если 15−7=8, то 8+7=15.

Или из уменьшаемого вычесть разность. Должно получиться вычитаемое.

Формула: Если a−b=c, то a−c=b.

Пример: Если 15−7=8, то 15−8=7.

 Почему улыбался шумер?

Унарно-позиционные системы обозначения чисел позволяли наглядно оптимизировать счёт.

Пример:

28 + 17 = (20 + 5 + 3) + (10 + 5 + 2) = (20 + 10) + (5 + 5) + (3 + 2) = 30 + 10 + 5 = 45.

Вот как это было у шумеров:

28 + 17 =(30 + 8 + 2) +5 = 45

Вот как это работало у римлян:

XXVIII + XVII = (XX + X) + (V + V) + (III + II) = XXX + X + V = XLV

28 + 17 =(30 +5 + 5) + 5 = 45

(Примечание: на промежуточном этапе чисто аддитивного сложения это могло выглядеть как XXXXV, но затем 4 десятка и 5 единиц приводились к стандартной записи XLV).

Аддитивное написание цифр — это способ записи чисел, при котором значение числа определяется суммой значений отдельных цифр, входящих в его запись. Термин происходит от английского слова add — добавлять, складывать.

Правила записи чисел

Принцип сложения: если меньшая цифра стоит справа от большей, её значение прибавляется к большей. Например, VI = 5 + 1 = 6, XII = 10 + 1 + 1 = 12.

Принцип вычитания: если меньшая цифра стоит слева от большей, она вычитается из большей. Это правило применяется только в определённых комбинациях:

I перед V или X (IV = 4, IX = 9);

X перед L или C (XL = 40, XC = 90);

C перед D или M (CD = 400, CM = 900).

Ограничение на повторение: одна и та же цифра не может повторяться более трёх раз подряд. Например, III = 3, но не IIII.

Направление записи: числа записываются слева направо, при этом сначала указываются большие значения, а затем меньшие.

Примеры:

69 в римской системе — LXIX (50 + 10) + (10 – 1) = 60 + 9;

555 — DLV (500 + 50 + 5);

1002 — MII.

Вот так мудрые предки оставили нам подсказки для оптимизации арифметических действий.

Дмитрий Просвирин