Точка и бесконечность, или битвы разума гигантов мысли. Часть 1

В стародавние времена, когда ещё не было телефонов и компьютеров, люди тратили своё время на создание наук и научные беседы.

В первом тысячелетии до нашей эры сидел под сенью деревьев Аристотель и за неимением смартфона думал. Думал он, думал и придумал, как озадачить потомков во веки веков: он родил на свет понятие бесконечности. Точнее, не родил — намёки на бесконечность начинают всплывать и у шумеров, и у древних египтян, и у пифагорейцев, и в древнеиндийских Упанишадах.

Судя по всему, исторически первым шагом к понятию бесконечности стал вопрос: «Сколько тебе богатств надо, чтобы ты успокоился?» Когда‑то пределом мечтаний считалось у шумеров 3600, и пресловутое «сорок сороков» (для тех, кто не в курсе, это 1600, но звучит эпично). Тем, кому и этого было мало, на помощь приходили мириады (в Древней Греции это были вполне конкретные 10 000, а не просто красивое слово). Сюда же в копилку «ну очень много» шли:

• «тьма» (10 000 или миллион — в зависимости от настроения и способа счёта);

• легион (100 000 или триллион).

Не отстали и современники: гугол и гуголплекс.

История последних двух чисел прекрасна: их придумал математик Эдвард Каснер просто так, болтая со своими малолетними племянниками. Это классическая детская игра «Кто назовёт самое большое число», в которую невозможно выиграть. Игра древняя, и первым невозможность выигрыша доказал Евклид.

Евклид гениально доказал, что простых чисел бесконечно много. Доказательство изящное и звонкое, как пощёчина: если бы их количество было конечным, мы могли бы перемножить их все, прибавить единицу — и получить число, которое не делится ни на одно из известных простых. «Начала», книга IX, предложение 20. При этом Евклид не использует понятие бесконечности. И понеслось!

Древние греки почувствовали подвох, сразу же бесконечность невзлюбили и отождествили её с первобытным Хаосом. Логика у них была железная: если что‑то нельзя пересчитать, какой вообще может быть порядок?

Индусы же рассуждали иначе, с буддийским спокойствием: если от бесконечного отнять конечную часть, бесконечное не уменьшится. Более того, они построили целую иерархию бесконечностей: от «почти несчётных» до «бесконечно бесконечных».

Так родилось занятие для слишком умных людей, у которых не было смартфонов и социальных сетей. Стартовали многовековые бои без правил пытливых умов!

Первым в клетку вышел Аристотель и провёл «двоечку». Серия состояла из введения двух типов бесконечности: потенциальной и актуальной.

• Потенциальная бесконечность — это когда перед вами гора золота, и вы можете забрать столько, сколько захотите. Хотите сотню монет? Возьмёте сотню. Хотите гуголплекс? Возьмите гуголплекс (при условии, что у вас есть гуголплекс рук и бесконечное терпение). Американский государственный долг! Для любого очередного ограничения конгресса найдётся следующий президент, который придумает новое число.

• Актуальная бесконечность — это когда вы подходите к горе золота и видите, что там уже сейчас лежит в стопочках бесконечное число золотых монет. Сразу. Без всяких «если» и «когда». Ваши желания эту гору не волнуют, она просто существует и нарушает все законы физики.

Древние греки не доверяли бесконечности в принципе. Теорему Евклида о простых числах они понимали строго в потенциальном ключе: мол, ежели златокудрым ахейцам понадобятся мириады простых чисел, мы их вычислим. А ежели мириад мириадов? Тоже вычислим, дайте только время и побольше папируса. О том, что простых чисел уже существует бесконечно много, среди сынов Эллады речи не велось.

Даже геометрические прямые, которые в школьном учебнике описываются как бесконечные, у Евклида были лишь «бесконечно продолжаемыми». Дескать, если надо — бери линейку и черти от забора и до заката, а если что, завтра продолжишь: земля‑то круглая.

Наступление Хаоса

Актуальная бесконечность пробралась в математику через чёрный ход геометрии. Дверцу приоткрыл всё тот же Архимед.

Его формула объёма шара: он вписывал в половину шара «слоёный пирог» из множества почти плоских цилиндров. Такой же «пирог» он вписывал в большой цилиндр, из которого по центру был вырезан конус. Указав, что объёмы этих «пирогов» всегда совпадают (какими бы тонкими ни были коржи), Архимед сделал вывод, что и объёмы самих тел равны.

Евдокс, чтобы найти площадь круга, вписывал в него правильные многоугольники, а затем бесконечно увеличивал у них число сторон.

Ребус для не слабонервных. Эта техника называется «метод исчерпывания».

Сидели эти товарищи и с философским спокойствием решали задачи, для которых мы сегодня используем калькуляторы и «новомодное» интегральное исчисление. До XVI века математики прожигали свою жизнь, вычисляя площади и объёмы. Но нашлись нетерпеливые: Кеплер и особенно Кавальери подняли бунт, вышли с лозунгами «Хватит это терпеть!» — и открыли ларец Пандоры.

Продолжение следует.

Дмитрий Просвирин