Точка и бесконечность, или битвы разума гигантов мысли. Часть 2

Представьте: сидит математик, хмурится и думает: «Ну сколько можно возиться с этой потенциальной бесконечностью? Она как тот кот — вроде есть, а потрогать нельзя!» И тут — бац! — озарение: а давайте заменим её на актуальную! Так появился «метод неделимых», он же «метод Кавальери» — в честь того самого итальянца, который сказал: «Хватит усложнять!»

Как это работает? Да проще простого! Вместо того чтобы корпеть над слоёным пирогом с бесконечно тонкими коржами (которые, кстати, даже блинный мастер не испечёт), просто представьте, что у вас уже лежит бесконечное число таких слоёв. Магия? Нет, математика!

Правда, Кавальери быстро понял: метод — как острый нож. Им можно и хлеб нарезать, и палец поранить. Если применить его бездумно, получится абсурд. Классический пример — «парадокс Кавальери»: два треугольника, разные по площади, вдруг оказываются одинаковыми, если их «расслоить» на отрезки. Вот такой математический фокус — не для слабонервных!

И тут, конечно, встаёт вопрос: а что же такое эта самая «актуальная бесконечность»? Звучит солидно, да? Прямо как титул какого‑нибудь древнего короля: «Его Величество Актуальная Бесконечность, Повелитель Всего и Сразу». Но штука эта оказалась такой коварной, что даже Архимед на неё косился с подозрением.

Он, кстати, был не промах: сначала, словно хитрый повар, «на глазок» прикидывал результат с чем‑то вроде метода неделимых — ну, типа «а давайте представим, что тут у нас миллион тоненьких слоёв». А потом, чтобы уж наверняка, доказывал всё строгим методом исчерпывания — так, чтобы ни один скептик не придрался. Архимед как будто говорил: «Да, я верю в интуицию, но проверять всё равно буду!»

С этой же штукой столкнулся и Галилей — и чуть не схватился за голову. Он заметил одну странную штуку:

— Так, — сказал он, — берём все натуральные числа. Каждое можно возвести в квадрат. Значит, квадратов столько же, сколько и самих чисел. Логично? Логично!

Но тут же добавил:

— А теперь внимание: не каждое натуральное число — это квадрат. То есть квадратов должно быть меньше!

И застыл в недоумении. Получается, от бесконечности можно отрезать кусок — и он будет равен целому! Галилей почесал затылок, вздохнул и решил: «Всё, хватит. Понятия „больше“ и „равно“ — только для нормальных, конечных штук. С бесконечностью эти правила не работают — она их просто игнорирует, как подросток родителей».

Математики смотрели на всё это и думали:

— С одной стороны, эта актуальная бесконечность — как скользкий банан на полу: наступишь — и сразу парадокс, потом ещё один, потом третий… Ошибки, нестыковки, странные выводы — прямо цирк с конями!

— С другой стороны… ну а как без неё? Метод неделимых же такой удобный! Он как кухонный комбайн: закинул задачу — и через минуту готово. Да, иногда он выдаёт что‑то странное — например, «два разных треугольника вдруг одинаковые», — но в большинстве случаев работает на ура!

В общем, критики ворчали, математики спорили, кто‑то грозился всё запретить, а кто‑то уже вовсю пользовался. И постепенно, шаг за шагом, математика всё‑таки ступила на этот скользкий путь — с бесконечностью в рюкзаке, парадоксами в кармане и надеждой, что как‑нибудь разберётся. Потому что, знаете, когда метод работает — даже если он немного сумасшедший, — от него так просто не откажешься. Как от любимого, но слегка поломанного гаджета: да, глючит, да, иногда зависает, но зато как удобно!

Реслинг. Бой: Ньютон, Лейбниц против Архимеда – американский долг и бесконечность наоборот.

— Какое число самое маленькое? — спросим мы у догадливого читателя.

— Минус бесконечность! — радостно выкрикнет он, довольный своей сообразительностью.

— Э‑э‑э, стоп, — прервём мы его. — А если без учёта знака? По абсолютной величине?

— Тогда ноль, — не моргнув глазом ответит читатель.

— А если кроме нуля? — прищуримся мы.

И тут наш читатель зависнет, как старый компьютер. Почешет затылок, посмотрит в потолок и задумается всерьёз.

Видите ли, в эту игру — «назови самое маленькое число» — выиграть невозможно. Совсем. Как и в игру «назови самое большое». Это как соревнование в щедрости: «Я подарю тебе миллион!» — «А я — миллиард!» — «А я — триллион!» И так до бесконечности.

Допустим, кто‑то хитроумно выдаёт: «Единица, делённая на гуголплекс!» (Да, есть такое число — гуголплекс. Оно такое огромное, что если бы вы начали его записывать, то к концу жизни добрались бы только до середины.)

А ему в ответ: «А я возьму и разделю ещё пополам!»

«Ну ладно, — не сдаётся первый. — Тогда единица, делённая на гуголплекс в квадрате!»

«А я разделю это пополам!»

И так до скончания веков. Бесконечное состязание в миниатюре — кто придумает число поменьше.

Но что, если… барабанная дробь… самое маленькое число, большее нуля, всё‑таки существует?

Чтобы окончательно всех запутать (и показать, какие мы умные), назовём его трудновыговариваемым словом «инфинитезималь» — от латинского infinitesimus, что значит «бесконечный по счёту, номер бесконечность». Звучит как заклинание из «Гарри Поттера», правда?

Грубо говоря, если играть в «самое маленькое число» бесконечно долго, то бесконечным по счёту ответом и будет этот самый инфинитезималь. Он такой крошечный, что его почти нет — но он есть. Как тот друг, который всегда говорит: «Я на секундочку!» — а потом сидит у вас три часа.

Ньютон и Лейбниц, кстати, именно с такими штуками и возились, когда придумывали свои математические фокусы (которые потом назвали математическим анализом). Они как бы сказали: «Да, обычные числа — это скучно. Давайте-ка работать с чем‑то настолько маленьким, что оно почти невидимо, но при этом помогает решать реальные задачи!»

Вот так математика взяла и придумала способ дружить с бесконечностями — и большими, и маленькими. И пусть это иногда выглядит как магия, на самом деле это просто… очень умная математика!

Думаете это конец? Ошибаетесь! Мыльная опера продолжается!

Дмитрий Просвирин