Шпаргалка №1. Правила сложения и вычитания

Для начала вспомним: натуральные числа — это числа, которые мы используем при счёте предметов: 1, 2, 3, 4, 5 и так до бесконечности. (Число 0 к натуральным не относится, но в арифметике оно играет очень важную роль, и мы обязательно о нём поговорим).

Часть 1. Волшебные правила СЛОЖЕНИЯ

Сложение — это арифметическое действие, в результате которого несколько чисел объединяются в одно новое число. Числа, которые мы складываем, называются слагаемыми, а результат — суммой.

Например:

1 + 1 = 2 (Здесь 1 и 1 — слагаемые, 2 — сумма).

2 + 1 = 3

3 + 1 = 4

4 + 1 = 5

0 + 1 = 1

Вот вам и первые правила арифметики:

Если к любому натуральному числу прибавить число 1, получим следующее натуральное число. (Число 1 образуется путём прибавления единицы к нулю: 0 + 1 = 1).

Свойство нуля: при прибавлении нуля число не меняется.

Формула: a+0=a

Пример: 56+0=56

У сложения есть два главных свойства-помощника:

1. Переместительное свойство (Правило «Менялки»)

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.

Формула: a+b=b+a

Пример: 7+3=10, и 3+7=10.

Зачем это нужно? Чтобы складывать было удобнее. Если к большому числу нужно прибавить маленькое, лучше поставить большое число первым:

2+48 легче посчитать как 48+2=50.

2. Сочетательное свойство (Правило «Группировки»)

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

Формула: (a+b)+c=a+(b+c)

Пример: (15+7)+3=15+(7+3). Гораздо проще сначала сложить 7 и 3 (получится 10), а потом прибавить к 15.

Итог: 15+10=25.

Зачем это нужно? Вспоминаем первый урок! Чтобы искать «круглые» числа (10, 20, 100) и считать в уме мгновенно.

Часть 2. Точные правила ВЫЧИТАНИЯ

Вычитание — это действие, при котором мы убираем часть от целого или узнаём, на сколько одно число больше другого.

Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым (оно уменьшается). Число, которое вычитают, — вычитаемым. Результат — разность.

Например: 10 – 4 = 6. (10 — уменьшаемое, 4 — вычитаемое, 6 — разность).

5 – 1 = 4

4 – 1 = 3

3 – 1 = 2

2 – 1 = 1

Как видите, если из числа вычесть число 1, то получим предыдущее число.

У вычитания тоже есть свои хитрости:

1. Вычитание суммы из числа

Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности вычесть второе слагаемое.

Формула: a−(b+c)=(a−b)−c

Пример: 45−(15+7). Удобнее сделать так: (45−15)−7=30−7=23.

2. Вычитание числа из суммы

Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого (где это возможно), а к полученной разности прибавить другое слагаемое.

Формула: (a+b)−c=(a−c)+b

Пример: (34+8)−4.

Проще вычесть 4 из 34: (34−4)+8=30+8=38.

3. Свойства нуля при вычитании

Если из числа вычесть нуль, число не изменится:

a−0=a

Пример:

99−0=99.

Если из числа вычесть это же число, получится нуль:

a−a=0

Пример:

15−15=0.

Часть 3. Сложение и вычитание — лучшие друзья

Эти действия являются взаимно обратными. Это значит, что одно действие может проверить другое. Это наш главный способ самопроверки!

Можно использовать такое определение: вычитание натуральных чисел — это арифметическая операция, которая позволяет найти неизвестное слагаемое, если известны сумма и другое слагаемое.

Как проверить сложение?

Из суммы нужно вычесть одно из слагаемых. Если получится другое слагаемое, всё верно!

Формула: Если a+b=c, то c−a=b и c−b=a.

Пример: Если 20+30=50, то 50−20=30.

Как проверить вычитание?

К разности можно прибавить вычитаемое. Должно получиться уменьшаемое.

Формула: Если

a−b=c, то b+c=a.

Пример: Если 15−7=8, то 8+7=15.

Или из уменьшаемого вычесть разность. Должно получиться вычитаемое.

Формула: Если a−b=c, то a−c=b.

Пример: Если 15−7=8, то 15−8=7.

 Почему улыбался шумер?

Унарно-позиционные системы обозначения чисел позволяли наглядно оптимизировать счёт.

Пример:

28 + 17 = (20 + 5 + 3) + (10 + 5 + 2) = (20 + 10) + (5 + 5) + (3 + 2) = 30 + 10 + 5 = 45.

Вот как это было у шумеров:

28 + 17 =(30 + 8 + 2) +5 = 45

Вот как это работало у римлян:

XXVIII + XVII = (XX + X) + (V + V) + (III + II) = XXX + X + V = XLV

28 + 17 =(30 +5 + 5) + 5 = 45

(Примечание: на промежуточном этапе чисто аддитивного сложения это могло выглядеть как XXXXV, но затем 4 десятка и 5 единиц приводились к стандартной записи XLV).

Аддитивное написание цифр — это способ записи чисел, при котором значение числа определяется суммой значений отдельных цифр, входящих в его запись. Термин происходит от английского слова add — добавлять, складывать.

Правила записи чисел

Принцип сложения: если меньшая цифра стоит справа от большей, её значение прибавляется к большей. Например, VI = 5 + 1 = 6, XII = 10 + 1 + 1 = 12.

Принцип вычитания: если меньшая цифра стоит слева от большей, она вычитается из большей. Это правило применяется только в определённых комбинациях:

I перед V или X (IV = 4, IX = 9);

X перед L или C (XL = 40, XC = 90);

C перед D или M (CD = 400, CM = 900).

Ограничение на повторение: одна и та же цифра не может повторяться более трёх раз подряд. Например, III = 3, но не IIII.

Направление записи: числа записываются слева направо, при этом сначала указываются большие значения, а затем меньшие.

Примеры:

69 в римской системе — LXIX (50 + 10) + (10 – 1) = 60 + 9;

555 — DLV (500 + 50 + 5);

1002 — MII.

Вот так мудрые предки оставили нам подсказки для оптимизации арифметических действий.

Дмитрий Просвирин