Точка и бесконечность, или битвы разума гигантов мысли. Часть 3

Джон Валлис и его бесконечный трюк: когда математика решила пошалить

Знакомьтесь — Джон Валлис: математик, священник и главный нарушитель спокойствия XVII века. Этот парень взял и придумал символ бесконечности «∞» — да так лихо, будто не математику двигал вперёд, а жонглировал горящими факелами на ярмарке. А потом ещё и инфинитезимали обозначил как 1/∞​.

— Ну да, — пожимал плечами Валлис, — беру единицу, делю на бесконечность. Что тут такого? Это же не ракету в космос запускать!

Римская католическая церковь, увидев это, чуть не устроила экстренное заседание: «Что за ересь?!» Католики тогда крепко держались за Аристотеля, который строго‑настрого запретил актуальную бесконечность: «Её не существует! И точка!» Но Валлис лишь ухмыльнулся:

— Ребята, я англичанин. Ваши папские указы для меня — как инструкция к микроволновке на китайском.

Так математика впервые показала язык философии — и это было только начало!

Ньютон и Лейбниц: два гения, одна гениальная мысль (и пара безумных идей)

Ньютон и Лейбниц, два великих математика XVIII века, независимо друг от друга задумались: «А что, если эти бесконечно малые штуки — не бред сумасшедшего, а реальная польза? Может, мы просто недооцениваем их?»

Представьте: вам нужно определить касательную к кривой. Для окружности всё просто: «касательная пересекает окружность в одной точке» — и готово. Но если кривая похожа на след пьяного ежа после новогодней вечеринки, этот лайфхак не работает.

И тут математики придумали гениальный ход:

— А давайте скажем, что касательная пересекает кривую в двух бесконечно близких точках! — предложил кто‑то.

— О, а секущая идёт «поперёк» и проходит только через одну, — подхватил второй. — Гениально!

А чтобы найти объём криволинейной фигуры, можно не резать её на плоскости, как Кавальери, а на слои — бесконечно тонкие, но не нулевые. Так, слово за слово, и появились дифференциальное и интегральное исчисление. Как будто магия, только с формулами!

Бесконечность без правил: бунтари математического мира

Правда, строгих правил для этих бесконечно малых величин не было. Они как подростки: нарушают все законы, включая аксиому Архимеда, которая строго заявляет:

«Даже самый маленький отрезок, взятый достаточное число раз, станет больше любого большого отрезка».

Инфинитезимали же — те ещё бунтари: сколько их ни складывай, они не дадут даже гуголплекс1​.

Методы работали как магия — иногда давали верный результат, иногда — полный абсурд. Философы потешались: епископ Беркли назвал инфинитезимали «призраками почивших чисел». А некоторые считают, что лилипуты в «Путешествиях Гулливера» — это тонкий стёб над этими самыми бесконечно малыми. Мол, такие крошечные, что почти не существуют, но всё равно мешают жить!

Архимед наносит ответный удар: математика против критики

Но несмотря на критику, математический анализ оказался настолько полезным, что от него никто не хотел отказываться. Решались задачи по геометрии, физике, астрономии — без него всё это было бы как попытка забить гвоздь микроскопом или нарисовать портрет акварелью с помощью отбойного молотка.

Математики рассуждали так:

— Да, метод иногда глючит, как старый компьютер. Но он же работает! Зачем отказываться?

Это как с Excel: даже если он зависает, никто не вернётся к деревянным счётам. Разве что ради ностальгии.

Коши и его строгий подход: когда математика решила навести порядок

Строгую формализацию начал Коши — и начал он с того, что выкинул инфинитезимали на мороз, как прошлогодний снег. Вместо них появились громоздкие формулировки с потенциальной бесконечностью.

Вот вам анекдот про математиков, который всё объясняет:

В бар заходит бесконечное число математиков. Первый заказывает кружку пива, второй половину кружки, третий четверть кружки, четвертый одну восьмую… «Я понял», — говорит бармен, и ставит на стойку две кружки пива.

С точки зрения Ньютона и Лейбница, бесконечно большое число математиков заказало количество пива, бесконечно близкое к двум кружкам.

А Коши бы сказал иначе:

«Для любого ε>0 существует такое натуральное число N, что после первых N математиков общий объём заказа отличается от двух кружек не более чем на ε».

Звучит как заклинание из «Гарри Поттера»? Да, но зато без всякой мистики — никаких бесконечностей и призрачных чисел. И работает даже лучше!

Физики против формализма: «нам бы что попроще»

Многие физики до сих пор презирают этот формализм и пользуются методами Ньютона: «достаточно малые», «достаточно большие» — и ладно. В чём‑то они правы: если физика не умеет работать с расстояниями меньше планковской величины, то эти расстояния мало чем отличаются от инфинитезималей.

— Нам бы что попроще, — говорят физики. — Зачем нам эти ваши ε-δ определения? Мы тут звёзды считаем, а не философствуем!

Можно ли делить на ноль? Или вечный вопрос школьников

Этот вопрос волнует школьников всех возрастов, как тайна НЛО или рецепт идеального бутерброда.

— В матанализе говорят: «единица, делённая на бесконечность, даёт ноль», — рассуждает юный гений. — Значит, единица, делённая на ноль, даст бесконечность! Шах и мат, училка!

На самом деле всё сложнее. Бесконечность в матанализе — не число, а обозначение предела. Фраза ∞1​=0 означает:

«Если у нас есть бесконечно возрастающая последовательность, и мы вместо каждого элемента x возьмём x1​, то новая последовательность будет стремиться к нулю».

Так что, дорогие школьники, делить на ноль по‑прежнему нельзя. Иначе можно доказать, что 2=5:

2 × 0 = 5 × 0. Если на ноль делить можно, то разделим на него обе части равенства. Вуаля, 2 = 5.

Арифметика в шоке, математика в слезах, учитель в обмороке.

Есть, правда, хитрые алгебраические структуры — «колеса», где деление на ноль разрешено. Но там свои законы: например, (1+1)×1=2. Так что наш родной ноль — под запретом.

На этом третья часть истории бесконечности заканчивается!

Но и это ещё не всё!

Дмитрий Просвирин